До сих пор нам было удобно ссылаться на программистский опыт , говоря об алгоритмах, программах, интерпретаторах, пошаговом выполнении и т.д. Это позволяло нам игнорировать детали построения тех или иных алгоритмов под тем предлогом, что читатель их легко восстановит (или хотя бы поверит все-таки не каждый читатель в своей жизни писал интерпретатор паскаля на паскале).

Но в некоторых случаях этого недостаточно. Пусть, например, мы хотим доказать алгоритмическую неразрешимость какой-то задачи, в определении которой ничего не говорится о программах (в этом разделе, например, мы докажем неразрешимость проблемы равенства слов в полугруппах , заданных образующими и соотношениями). Это обычно делается так. Мы показываем, что проблема остановки сводится к этой задаче. Для этого мы моделируем работу произвольного алгоритма в терминах рассматриваемой задачи (что это значит, будет видно из приводимого ниже примера). При этом нам важно, чтобы определение алгоритма было как можно проще.

Таким образом, наш план таков. Мы опишем довольно просто определяемый класс машин (его можно выбирать по-разному, мы будем использовать так называемые машины Тьюринга), затем объявим, что всякая вычислимая функция может быть вычислена на такой машине, а затем покажем, что вопрос об остановке машины Тьюринга можно свести к вопросу о равенстве слов в полугруппе.

Другая причина, по которой важны простые вычислительные модели (таких моделей много разные виды машин Тьюринга, адресные машины и т.п.), связана с теорией сложности вычислений, когда нас начинает интересовать время выполнения программ. Но этот вопрос выходит за рамки классической теории алгоритмов.

Машины Тьюринга: определение

Машина Тьюринга имеет бесконечную в обе стороны ленту , разделенную на квадратики (ячейки ). В каждой ячейке может быть записан некоторый символ из фиксированного (для данной машины) конечного множества , называемого алфавитом данной машины. Один из символов алфавита выделен и называется " пробелом" предполагается, что изначально вся лента пуста, то есть заполнена пробелами.

Машина Тьюринга может менять содержимое ленты с помощью специальной читающей и пишущей головки , которая движется вдоль ленты. В каждый момент головка находится в одной из ячеек. Машина Тьюринга получает от головки информацию о том, какой символ та видит, и в зависимости от этого (и от своего внутреннего состояния) решает, что делать, то есть какой символ записать в текущей ячейке и куда сдвинуться после этого (налево, направо или остаться на месте). При этом также меняется внутреннее состояние машины (мы предполагаем, что машина не считая ленты имеет конечную память , то есть конечное число внутренних состояний). Еще надо договориться, с чего мы начинаем и когда кончаем работу.

Таким образом, чтобы задать машину Тьюринга, надо указать следующие объекты:

Таблица переходов устроена следующим образом: для каждой пары указана тройка . Здесь сдвиг одно из чисел -1 (влево), 0 (на месте) и 1 (направо). Таким образом, таблица переходов есть функция типа S x A -> S x A x {-1,0,1} , определенная на тех парах, в которых состояние не является заключительным.

Остается описать поведение машины Тьюринга. В каждый момент имеется некоторая конфигурация , складывающаяся из содержимого ленты (формально говоря, содержимое ленты есть произвольное отображение Z -> A ), текущей позиции головки (некоторое целое число ) и текущего состояния машины (элемент S ). Преобразование конфигурации в следующую происходит по естественным правилам: мы смотрим в таблице, что надо делать для данного состояния и для данного символа, то есть выясняем новое состояние машины, меняем символ на указанный и после этого сдвигаем головку влево, вправо или оставляем на месте. При этом, если новое состояние является одним из заключительных, работа машины заканчивается. Остается договориться, как мы подаем информацию на вход машины и что считается результатом ее работы. Будем считать, что алфавит машины, помимо пробела, содержит символы 0 и 1 (а также, возможно, еще какие-то символы). Входом и выходом машины будут конечные последовательности нулей и единиц (двоичные слова). Входное слово записывается на пустой ленте, головка машины ставится в его первую клетку, машина приводится в начальное состояние и запускается. Если машина останавливается, результатом считается двоичное слово , которое можно прочесть, начиная с позиции головки и двигаясь направо (пока не появится символ, отличный от 0 и 1 ).

Таким образом, любая машина Тьюринга задает некоторую частичную функцию на двоичных словах. Все такие функции естественно назвать вычислимыми на машинах Тьюринга .

Машины Тьюринга: обсуждение

Разумеется, наше определение содержит много конкретных деталей, которые можно было бы изменить. Например, лента может быть бесконечной только в одну сторону. Можно придать машине две ленты. Можно считать, что машина может либо написать новый символ, либо сдвинуться, но не то и другое вместе. Можно ограничить алфавит , считая, скажем, что в нем должно быть ровно 10 символов. Можно потребовать, чтобы в конце на ленте ничего не было, кроме результата работы (остальные клетки должны быть пусты). Все перечисленные и многие другие изменения не меняют класса вычислимых на машинах Тьюринга функций. Конечно, есть и небезобидные изменения. Например, если запретить машине двигаться налево, то это радикально поменяет дело по существу лента станет бесполезной, так как к старым записям уже нельзя будет вернуться.

Как понять, какие изменения безобидны, а какие нет? Видимо, тут необходим некоторый опыт практического программирования на машинах Тьюринга, хотя бы небольшой. После этого уже можно представлять себе возможности машины, не выписывая программы полностью, а руководствуясь лишь приблизительным описанием. В качестве примера опишем машину, которая удваивает входное слово (изготавливает слово XX , если на входе было слово X ).

Если машина видит пробел ( входное слово пусто), она кончает работу. Если нет, она запоминает текущий символ и ставит пометку (в алфавите помимо символов 0 и 1 будут еще их " помеченные варианты" и ). Затем она движется направо до пустой клетки, после чего пишет там копию запомненного символа. Затем она движется налево до пометки; уткнувшись в пометку, отходит назад и запоминает следующий символ и так далее, пока не скопирует все слово .

Имея некоторый опыт , можно за всеми этими фразами видеть конкретные куски программы для машины Тьюринга. Например, слова " запоминает символ и движется направо" означают, что есть две группы состояний, одна для ситуации, когда запомнен нуль, другая когда запомнена единица , и внутри каждой группы запрограммировано движение направо до первой пустой клетки.

Имея еще чуть больше опыта, можно понять, что в этом описании есть ошибка не предусмотрен механизм остановки, когда все слово будет скопировано, поскольку копии символов ничем не отличаются от символов исходного слова. Ясно и то, как ошибку исправить надо в качестве копий писать специальные символы и , а на последнем этапе все пометки удалить.

77 . Покажите, что функция " обращение", переворачивающая слово задом наперед, вычислима на машине Тьюринга.

Другой пример неформального рассуждения: объясним, почему можно не использовать дополнительных символов, кроме 0 , 1 и пустого символа. Пусть есть машина с большим алфавитом из N символов. Построим новую машину, которая будет моделировать работу старой, но каждой клетке старой будет соответствовать блок из k клеток новой. Размер блока (число k ) будет фиксирован так, чтобы внутри блока можно было бы закодировать нулями и единицами все символы большого алфавита. Исходные символы 0 , 1 и пустой будем кодировать как 0 , за которым идут (k-1) пустых символов, 1 , за которым идут (k-1) пустых символов, и группу из k пустых символов. Для начала надо раздвинуть буквы входного слова на расстояние k , что можно сделать без дополнительных символов (дойдя до крайней буквы, отодвигаем ее, затем дойдя до следующей, отодвигаем ее и крайнюю и так далее); надо только понимать, что можно идентифицировать конец слова как позицию, за которой следует более k пустых символов. Ясно, что в этом процессе мы должны хранить в памяти некоторый конечный объем информации, так что это возможно. После этого уже можно моделировать работу исходной машины по шагам, и для этого тоже достаточно конечной памяти (е конечного числа состояний), так как нам важна только небольшая окрестность головки моделируемой машины. Наконец, надо сжать результат обратно.

В заключение обсуждения приведем обещанный выше аргумент в пользу того, что любая вычислимая функция вычислима на машине Тьюринга. Пусть есть функция , которую человек умеет вычислять. При этом, он, естественно, должен использовать карандаш и бумагу, так как количество информации , которое он может хранить " в уме", ограничено. Будем считать, что он пишет на отдельных листах бумаги. Помимо текущего листа, есть стопка бумаг справа и стопка слева; в любую из них можно положить текущий лист , завершив с ним работу, а из другой стопки взять следующий. У человека есть карандаш и ластик. Поскольку очень мелкие буквы не видны, число отчетливо различимых состояний листа конечно, и можно считать, что в каждый момент на листе записана одна буква из некоторого конечного (хотя и весьма большого) алфавита. Человек тоже имеет конечную память , так что его состояние есть элемент некоторого конечного множества . При этом можно составить некоторую таблицу, в которой записано, чем кончится его работа над листом с данным содержимым, начатая в данном состоянии (что будет на листе, в каком состоянии будет человек и из какой пачки будет взят следующий лист ). Теперь уже видно, что действия человека как раз соответствуют работе машины Тьюринга с большим (но конечным) алфавитом и большим (но конечным) числом внутренних состояний.

Машина Тьюринга - одно из самых интригующих и захватывающих интеллектуальных открытий 20-го века. Это простая и полезная абстрактная модель вычислений (компьютерных и цифровых), которая является достаточно общей для воплощения любой компьютерной задачи. Благодаря простому описанию и проведению математического анализа она образует фундамент теоретической информатики. Это исследование привело к более глубокому познанию цифровых компьютеров и исчислений, включая понимание того, что существуют некоторые вычислительные проблемы, не решаемые на общих пользовательских ЭВМ.

Алан Тьюринг стремился описать наиболее примитивную модель механического устройства, которая имела бы те же основные возможности, что и компьютер. Тьюринг впервые описал машину в 1936 году в статье "О вычислимых числах с приложением к проблеме разрешимости", которая появилась в Трудах Лондонского математического общества.

Машина Тьюринга является вычислительным устройством, состоящим из головки чтения/записи (или «сканера») с бумажной лентой, проходящей через него. Лента разделена на квадраты, каждый из которых несет одиночный символ - "0" или "1". Назначение механизма состоит в том, что он выступает и как средство для входа и выхода, и как рабочая память для хранения результатов промежуточных этапов вычислений. Из чего состоит устройство Каждая такая машина состоит из двух составляющих: Неограниченная лента. Она является бесконечной в обе стороны и разделена на ячейки. Автомат – управляемая программа, головка-сканер для считывания и записи данных. Она может находиться в каждый момент в одном из множества состояний.

Каждая машина связывает два конечных ряда данных: алфавит входящих символов A = {a0, a1, ..., am} и алфавит состояний Q = {q0, q1, ..., qp}. Состояние q0 называют пассивным. Считается, что устройство заканчивает свою работу, когда попадает именно на него. Состояние q1 называют начальным - машина начинает свои вычисления, находясь на старте в нем. Входное слово располагается на ленте по одной букве подряд в каждой позиции. С обеих сторон от него располагаются только пустые ячейки.

Как работает механизм

Машина Тьюринга имеет принципиальное отличие от вычислительных устройств – ее запоминающее приспособление имеет бесконечную ленту, тогда как у цифровых аппаратов такое устройство имеет полосу определенной длины. Каждый класс заданий решает только одна построенная машина Тьюринга. Задачи иного вида предполагают написание нового алгоритма. Управляющее устройство, находясь в одном состоянии, может передвигаться в любую сторону по ленте. Оно записывает в ячейки и считывает с них символы конечного алфавита. В процессе перемещения выделяется пустой элемент, который заполняет позиции, не содержащие входные данные. Алгоритм для машины Тьюринга определяет правила перехода для управляющего устройства. Они задают головке записи-чтения такие параметры: запись в ячейку нового символа, переход в новое состояние, перемещение влево или вправо по ленте.

Свойства механизма

Машина Тьюринга, как и другие вычислительные системы, имеет присущие ей особенности, и они сходны со свойствами алгоритмов: Дискретность. Цифровая машина переходит к следующему шагу n+1 только после того, как будет выполнен предыдущий. Каждый выполненный этап назначает, каким будет n+1. Понятность. Устройство выполняет только одно действие для одной же ячейки. Оно вписывает символ из алфавита и делает одно движение: влево или вправо. Детерминированность. Каждой позиции в механизме соответствует единственный вариант выполнения заданной схемы, и на каждом этапе действия и последовательность их выполнения однозначны. Результативность. Точный результат для каждого этапа определяет машина Тьюринга. Программа выполняет алгоритм и за конечное число шагов переходит в состояние q0. Массовость. Каждое устройство определено над допустимыми словами, входящими в алфавит. Функции машины Тьюринга В решении алгоритмов часто требуется реализация функции. В зависимости от возможности написания цепочки для вычисления, функцию называют алгоритмически разрешимой или неразрешимой. В качестве множества натуральных или рациональных чисел, слов в конечном алфавите N для машины рассматривается последовательность множества В – слова в рамках двоичного кодового алфавита В={0.1}. Также в результат вычисления учитывается «неопределенное» значение, которое возникает при «зависании» алгоритма. Для реализации функции важно наличие формального языка в конечном алфавите и решаемость задачи распознавания корректных описаний.-

Программа для устройства

Программы для механизма Тьюринга оформляются таблицами, в которых первые строка и столбец содержат символы внешнего алфавита и значения возможных внутренних состояний автомата - внутренний алфавит. Табличные данные являются командами, которые воспринимает машина Тьюринга. Решение задач происходит таким образом: буква, считываемая головкой в ячейке, над которой она в данный момент находится, и внутреннее состояние головки автомата обусловливают, какую из команд необходимо выполнять. Конкретно такая команда находится на пересечении символов внешнего алфавита и внутреннего, находящихся в таблице.

Составляющие для вычислений

Чтобы построить машину Тьюринга для решения одной определенной задачи, необходимо определить для нее следующие параметры. Внешний алфавит. Это некоторое конечное множество символов, обозначающихся знаком А, составляющие элементы которого именуются буквами. Один из них - а0 - должен быть пустым. Для примера, алфавит устройства Тьюринга, работающего с двоичными числами, выглядит так: A = {0, 1, а0}. Непрерывная цепочка букв-символов, записываемая на ленту, именуется словом. Автоматом называется устройство, которое работает без вмешательства людей. В машине Тьюринга он имеет для решения задач несколько различных состояний и при определенно возникающих условиях перемещается из одного положения в другое. Совокупность таких состояний каретки есть внутренний алфавит. Он имеет буквенное обозначение вида Q={q1, q2...}. Одно из таких положений - q1 - должно являться начальным, то есть тем, что запускает программу. Еще одним необходимым элементом является состояние q0, которое является конечным, то есть тем, что завершает программу и переводит устройство в позицию остановки.

Таблица переходов.

Эта составляющая представляет собой алгоритм поведения каретки устройства в зависимости от того, каковы в данный момент состояние автомата и значение считываемого символа.-

Алгоритм для автомата

Кареткой устройства Тьюринга во время работы управляет программа, которая во время каждого шага выполняет последовательность следующих действий: Запись символа внешнего алфавита в позицию, в том числе и пустого, осуществляя замену находившегося в ней, в том числе и пустого, элемента. Перемещение на один шаг-ячейку влево или же вправо. Изменение своего внутреннего состояния. Таким образом, при написании программ для каждой пары символов либо положений необходимо точно описать три параметра: ai – элемент из выбранного алфавита A, направление сдвига каретки ("←” влево, "→” вправо, "точка” - отсутствие перемещения) и qk - новое состояние устройства. К примеру, команда 1 "←” q2 имеет значение "заместить символ на 1, сдвинуть головку каретки влево на один шаг-ячейку и сделать переход в состояние q2”.

Введение

Машина Тьюринга - это очень простое вычислительное устройство. Она состоит из ленты бесконечной длины, разделенной на ячейки, и головки, которая перемещается вдоль ленты и способна читать и записывать символы. Также у машины Тьюринга есть такая характеристика, как состояние, которое может выражаться целым числом от нуля до некоторой максимальной величины. В зависимости от состояния машина Тьюринга может выполнить одно из трех действий: записать символ в ячейку, передвинуться на одну ячейку вправо или влево и установить внутреннее состояние.

Устройство машины Тьюринга чрезвычайно просто, однако на ней можно выполнить практически любую программу. Для выполнения всех этих действий предусмотрена специальная таблица правил, в которой прописано, что нужно делать при различных комбинациях текущих состояний и символов, прочитанных с ленты.

В 1947 г. Алан Тьюринг расширил определение, описав "универсальную машину Тьюринга". Позже для решения определенных классов задач была введена ее разновидность, которая позволяла выполнять не одну задачу, а несколько.

Описание машины Тьюринга

Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача доказательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как "проблему разрешимости" - нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.

Статья Тьюринга как раз и давала ответ на эту проблему - вторая проблема Гильберта оказалась неразрешимой. Но значение статьи Тьюринга выходило далеко за рамки той задачи, по поводу которой она была написана.

Приведем характеристику этой работы, принадлежащую Джону Хопкрофту: "Работая над проблемой Гильберта, Тьюрингу пришлось дать четкое определение самого понятия метода. Отталкиваясь от интуитивного представления о методе как о некоем алгоритме, т.е. процедуре, которая может быть выполнена механически, без творческого вмешательства, он показал, как эту идею можно воплотить в виде подробной модели вычислительного процесса. Полученная модель вычислений, в которой каждый алгоритм разбивался на последовательность простых, элементарных шагов, и была логической конструкцией, названной впоследствии машиной Тьюринга".

Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата, расширением, включающим потенциально бесконечную память с возможностью перехода (движения) от обозреваемой в данный момент ячейки к ее левому или правому соседу.

Формально машина Тьюринга может быть описана следующим образом. Пусть заданы:

конечное множество состояний - Q, в которых может находиться машина Тьюринга;

конечное множество символов ленты - Г;

функция д (функция переходов или программа), которая задается отображением пары из декартова произведения Q x Г (машина находится в состоянии qi и обозревает символ i) в тройку декартова произведения Q х Г х {L,R} (машина переходит в состояние qi, заменяет символ i на символ j и передвигается влево или вправо на один символ ленты) - Q x Г-->Q х Г х {L,R}

один символ из Г-->е (пустой);

подмножество У є Г - -> определяется как подмножество входных символов ленты, причем е є (Г - У);

одно из состояний - q0 є Q является начальным состоянием машины.

Решаемая проблема задается путем записи конечного количества символов из множества У є Г - Si є У на ленту:

eS1S2S3S4... ... ... Sne

после чего машина переводится в начальное состояние и головка устанавливается у самого левого непустого символа (q0,w) -, после чего в соответствии с указанной функцией переходов (qi,Si) - ->(qj,Sk, L или R) машина начинает заменять обозреваемые символы, передвигать головку вправо или влево и переходить в другие состояния, предписанные функций переходов.

Остановка машины происходит в том случае, если для пары (qi,Si) функция перехода не определена.

Алан Тьюринг высказал предположение, что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Это предположение известно как тезис Черча-Тьюринга. Каждый компьютер может моделировать машину Тьюринга (операции перезаписи ячеек, сравнения и перехода к другой соседней ячейке с учетом изменения состояния машины). Следовательно, он может моделировать алгоритмы в любом формализме, и из этого тезиса следует, что все компьютеры (независимо от мощности, архитектуры и т.д.) эквивалентны с точки зрения принципиальной возможности решения алгоритмических задач.

Свойства машины Тьюринга как алгоритма

На примере машины Тьюринга хорошо прослеживаются свойства алгоритмов. Попросите учащихся показать, что машина Тьюринга обладает всеми свойствами алгоритма.

Дискретность. Машина Тьюринга может перейти к (к + 1) - му шагу только после выполнения каждого шага, т.к именно каждый шаг определяет, каким будет (к + 1) - й шаг.

Понятность. На каждом шаге в ячейку пишется символ из алфавита, автомат делает одно движение (Л, П, Н), и машина Тьюринга переходит в одно из описанных состояний.

Детерминированность. В каждой клетке таблицы машины Тьюринга записан лишь один вариант действия. На каждом шаге результат определен однозначно, следовательно, последовательность шагов решения задачи определена однозначно, т.е. если машине Тьюринга на вход подают одно и то же входное слово, то выходное слово каждый раз будет одним и тем же.

Результативность. Содержательно результаты каждого шага и всей последовательности шагов определены однозначно, следовательно, правильно написанная машина Тьюринга за конечное число шагов перейдет в состояние q0, т.е. за конечное число шагов будет получен ответ на вопрос задачи.

Массовость. Каждая машина Тьюринга определена над всеми допустимыми словами из алфавита, в этом и состоит свойство массовости. Каждая машина Тьюринга предназначена для решения одного класса задач, т.е. для каждой задачи пишется своя (новая) машина Тьюринга.

В 1936 г. Аланом Тьюрингом для уточнения понятия алгоритма был предложен абстрактный универсальный исполнитель . Его абстрактность заключается в том, что он представляет собой логическую вычислительную конструкцию, а не реальную вычислительную машину. Термин «универсальный исполнитель» говорит о том, что данный исполнитель может имитировать любой другой исполнитель. Например, операции, которые выполняют реальные вычислительные машины можно имитировать на универсальном исполнителе. В последствие, придуманная Тьюрингом вычислительная конструкция была названа машиной Тьюринга .
Кроме того, предполагается, что универсальный исполнитель должен уметь доказывать существование или отсутствие алгоритма для той или иной задачи.

Что собой представляет машина Тьюринга?

Машина Тьюринга состоит из бесконечной в обе стороны ленты, разделенной на ячейки, и автомата (головки), которая управляется программой.
Программы для машин Тьюринга записываются в виде таблицы, где первые столбец и строка содержат буквы внешнего алфавита и возможные внутренние состояния автомата (внутренний алфавит). Содержимое таблицы представляет собой команды для машины Тьюринга. Буква, которую считывает головка в ячейке (над которой она находится в данный момент), и внутренне состояние головки определяют, какую команду нужно выполнить. Команда определяется пересечением символов внешнего и внутреннего алфавитов в таблице.

Чтобы задать конкретную машину Тьюринга, требуется описать для нее следующие составляющие:

• Внешний алфавит. Конечное множество (например, А), элементы которого называются буквами (символами). Одна из букв этого алфавита (например, а 0) должна представлять собой пустой символ.
• Внутренний алфавит. Конечное множество состояний головки (автомата). Одно из состояний (например, q 1) должно быть начальным (запускающим программу). Еще одно из состояний (q 0) должно быть конечным (завершающим программу) – состояние останова.
• Таблица переходов. Описание поведения автомата (головки) в зависимости от состояния и считанного символа.

Автомат машины Тьюринга в процессе своей работы может выполнять следующие действия:

• Записывать символ внешнего алфавита в ячейку (в том числе и пустой), заменяя находившийся в ней (в том числе и пустой).
• Передвигаться на одну ячейку влево или вправо.
• Менять свое внутреннее состояние.

Одна команда для машины Тьюринга как раз и представляет собой конкретную комбинацию этих трех составляющих: указаний, какой символ записать в ячейку (над которой стоит автомат), куда передвинуться и в какое состояние перейти. Хотя команда может содержать и не все составляющие (например, не менять символ, не передвигаться или не менять внутреннего состояния).

Пример работы машины Тьюринга

Допустим, на ленте есть слово, состоящее из символов #, $, 1 и 0. Требуется заменить все символы # и $ на нули. В момент запуска головка находится над первой буквой слова слева. Завершается программа тогда, когда головка оказывается над пустым символом после самой правой буквы слова.
Примечание: длина слова и последовательность символов значения не имеют. На рисунке приводится пример последовательности выполнения команд для конкретного случая. Если на ленте будет другое слово, то и последовательность выполнения команд будет другой. Несмотря на это, данная программа для машины Тьюринга (на рисунке – таблица слева) применима к любым словам описанного внешнего алфавита (соблюдается свойство применимости алгоритма ко всем однотипным задачам – массовость).

Можно усложнить программу. Допустим, головка располагается не обязательно над первым, а над любым символом слова. Тогда программа для данной машины Тьюринга может быть такой (а могла бы быть и другой):

Здесь происходит сдвиг головки влево до тех пор, пока она не окажется над пустым символом. После этого машина переходит в состояние q 2 (команды которого совпадают с командами q 1 предыдущей программы).

В логике с помощью понятия машины Тьюринга строится теория неразрешимых проблем, однако в вычислительной практике чаще приходится иметь дело с разрешимыми, но “трудно решаемыми” проблемами. Выбирая и здесь в качестве вычислительной модели машину Тьюринга, мы руководствуемся тем, что она проста и допускает те же языки, что и компьютер, причем сложность вычислений на машине Тьюринга полиномиальна от числа шагов компьютера.

Машина Тьюринга представляет собой абстрактную вычислительную машину, состоящую из управления с конечным числом состояний и бесконечной ленты, разделенной на ячейки, в каждой из которых хранится один ленточный символ, и одна из ячеек является текущей позицией ленточной головки. Формальная запись машины Тьюринга - это упорядоченный набор M = (X, Q, q 0 , F, I), где

X – внешний алфавит символов (букв на ленте), включающий символ L;

Q – конечный алфавит внутренних состояний;

q 0 – инициальное состояние (начало работы), q 0 Î Q;

F– множество заключительных состояний, FÌ Q;

I - множество инструкций, или машинных команд, каждая из которых принадлежит множеству (Q \ F) ´ X ´ {®} ´ Q ´ X ´ {R,L,S}.

Переходы осуществляются на основе текущего состояния и обозреваемого считывающей головкой символа к следующему состоянию, переписыванию символа и сдвигу головки (вправо R, влево L, на месте S).

Можно определить функцию переходов

d: (Q \ F) ´ X* ® Q ´ X* ´ {R,L,S}, где X* -слова в алфавите X.

В случае однозначной функции d машина Тьюринга называется детерминированной машиной Тьюринга.

Текущей конфигурацией машины Тьюринга называют цепочку значащих (отличных от L) символов, записанных на ленте в данный момент времени, вместе с символом состояния, помещенным в цепочку перед обозреваемым символом.

Останов (завершение работы) происходит в заключительном состоянии или когда левая часть (до ®) ни одной из машинных команд не содержится в полученной конфигурации. Говорят, что машина допускает вход, если она останавливается на нем в заключительном состоянии.

В качестве примера рассмотрим работу детерминированной машины Тьюринга, вычисляющей функцию ïm - nï. Упорядоченную пару натуральных чисел (m,n) представляем как слово 0 m 10 n в алфавите X \ {L} = {0,1}, ячейки слева и справа от которого содержат символ L.

Q 0 0 ® LRq 1 Состояния Символ

Q 1 0 ® 0Rq 1 0 1 L

q 1 1 ® 1Rq 2 q 0 LRq 1 1Sq 5 0Sq 5

q 2 0 ® 1Lq 3 q 1 0Rq 1 1Rq 2 ¾

q 2 1 ® 1Rq 2 q 2 1Lq 3 1Rq 2 LLq 4

q 3 1 ® 1Lq 3 q 3 0Lq 3 1Lq 3 LRq 0

q 3 0 ® 0Lq 3 q 4 0Lq 4 LLq 4 0Sq 5

q 3 L ® LRq 0 q 5 ¾ LRq 5 ¾

q 2 L ® LLq 4 *

q 4 1 ® LLq 4 Таблица 1. Программа вычисления функции ôm - nô,

q 4 0 ® 0Lq 4 где функция переходов задается таблицей

q 0 1 ® 1Sq 5 *

Машина Тьюринга M допускает (отвергает) слово wÎ X * , если она останавливается на нем, придя в допускающее (заключительное) состояние. Машина допускает язык LÍ X * , если она допускает все слова языка L. Машина M распознает язык LÍ X * , если она допускает все слова из L и останавливается на словах из X * \ L, не находясь в заключитель ном состоянии. Языки, допускаемые машиной Тьюринга, назовем рекурсивно перечислимым.

Язык L допускается (распознается) за полиномиальное время , если существует машина M, которая допускает (распознает) язык L, причем всякое слово wÎ L допускается (распознается) за время O(n k), где n – длина слова w, а k – не зависящее от w число.

Теперь можно определить класс P, как множество языков LÍ {0,1} * , распознаваемых за полиномиальное время.

Теорема. Класс P есть множество языков, допускаемых за полиномиальное время.

Доказательство. В одну сторону тривиально, если машина M распознает язык L, то она и допускает язык L. Обратно, пусть язык L допускается машиной M за время O(n k), т.е. существует константа c, что любое слово из L длины n допускается не более, чем за T = c×n k шагов. С другой стороны, слова, не принадлежащие L, не допускаются ни за какое время. Построим машину M * , которая на слове w моделирует не более Т = c×n k шагов машины M и останавливается, выдавая 1, если M(w)=1, в противном случае - останавливается, сделав Т = c×n k шагов, выдавая на выход 0. Таким образом, машина M * распознает язык L и сложностной класс P можно рассматривать, как множество языков, допускаемых за полиномиальное время. “

Многоленточная машина Тьюринга.

Для имитации работы компьютера используются многоленточные машины Тьюринга. В начальной конфигурации многоленточной машины на первой ленте размещается вход (конечная последовательность символов, куда не входит L), все клетки остальных лент содержат символ L, считывающие головки всех лент находятся в начальном состоянии.

За один переход осуществляются следующие действия:

Управление переходит в новое состояние,

На каждой ленте записывается новый (или тот же) символ;

Считывающие головки каждой из лент независимо сдвигаются на одну ячейку (R,L,S).

Языки, допускаемые одноленточными машинами Тьюринга, рекурсивно перечислимы. Допустимы ли многоленточными машинами не рекурсивно перечислимые языки? Ответ в следующей теореме.

Теорема. Каждый язык L, допускаемый многоленточной машиной Тьюринга, рекурсивно перечислим.

Доказательство. Одноленточную машину Тьюринга можно представить, как многодорожечную , задавая ее аргументы в виде кортежей. При этом одна дорожка хранит данные, а другая отметку. Смоделируем k - ленточную машину M как многодорожечную машину N, содержащую 2k дорожек, где каждая вторая содержит маркер, указывающий позицию головки соответствующей ленты. Машина N должна посетить каждый из маркеров головок k лент и изменить соответствующим образом символ, представляющий соответствующую ленту, перемещая маркер в том направлении, как это происходило на соответствующей ленте. Наконец, N изменяет состояние М, записанное в конечном управлении N. В качестве допускающих состояний N выбираются все те состояния, в которых запоминалось допускающее состояние M. Таким образом, машина M и N одновременно допускают язык L. Но все языки, допускаемые одноленточной машиной N, рекурсивно перечислимы, поэтому рекурсивно перечислимы все языки, допускаемые многоленточной машиной M. “

Теорема. Время, необходимое одноленточной машине N для имитации n переходов k-ленточной машины M, есть O(n 2).

Доказательство. После n переходов машины M маркеры головок разделены не более, чем 2n клетками, так что и машине N надо сдвинуться не более, чем на 2n клеток вправо, чтобы найти все маркеры головок. Теперь ей надо совершить проход влево, изменяя содержимое M лент и сдвигая головочные маркеры, что потребует не более 2n сдвигов влево плюс не более 2k переходов для изменения направления движения и записи маркера в клетку. Таким образом, число переходов N для имитации одного из переходов машины M не более 4n+2k, т.е. O(n). Для n переходов требуется времени в n раз больше, т.е. O(n 2). “

Различие во времени вычисления на машинах с разным числом лент сохраняет полиномиальную сложность и для одноленточной машины ограничено с×T(n) 2 , а емкость - с×S(n) (для входа длины n), где T(n), S(n) – параметры k-ленточных машин. Зависимость между емкостью и временем для k-ленточных машин линейная: S £ kT; для входа w длины n

Недетерминированные машины Тьюринга.

По причинам, которые вскоре будут понятны, недетерминированные машины Тьюринга являются ключевым понятием в теории NP-полных задач. Недетерминированная машина Тьюринга отличается от обычной (детерминированной) машины Тьюринга тем, что может иметь более одного перехода от текущей конфигурации к следующей. Недетерминированная машина допускает слово w, если существует хотя бы одна цепочка конфигураций, ведущая от начальной конфигурации в заключительную. Существование других последовательностей конфигураций, не ведущих в заключительное (допускающее) состояние не имеет значение. Работу недетерминированной машины на входе w можно представить в виде дерева, где каждый путь из корня w в лист представляет некоторую последовательность возможных шагов машины. Если s w кратчайшая последовательность возможных шагов работы машины, которая оканчивается допускающей конфигурацией, то ½s w ½ есть время, затраченное машиной на обработку входа w. Если на входе w никакая последовательность не приводит к допускающей конфигурации, то время, затраченное на обработку w не определено. Считается, что недетерминированная машина Тьюринга на входе w параллельно выполняет все возможные последовательности шагов, пока не достигнет допускающего состояния или окажется, что ее программа не применима к полученной конфигурации.

Остается открытым вопрос, существуют ли языки, допускаемые недетерминированной машиной Тьюринга с данной временной и емкостной сложностью и не допускаемые никакой детерминированной машиной с той же сложностью.

Недетерминированные машины Тьюринга допускают те же языки, что и детерминированные. Однако, надо заметить, что последним приходится за это расплачиваться сильным увеличением временной сложности.

Обозначим через L(M) множество всех слов wÎX*, допускаемых машиной M, L(M) называют языком машины M.

Теорема. Если M недетерминированная машина с полиномиальной временной сложностью T(n), то существует детерминированная машина M ’ , с L(M ’ ) = L(M) и временной сложностью O(c T(n)).

Доказательство. Доказательство основывается на том, что для любой недетерминированной машины Тьюринга M строится детерминированная машина M ’ , которая исследует последовательности конфигураций (пути в дереве недетерминированной машины) и если находит хотя бы одну с допускаемым состоянием, то сама переходит в допускаемое состояние. Обследованные конфигурации помещаются в очередь, длины k (k=1,2…) Построим детерминированную многоленточную машину M ’ , моделирующую недетерминированную машину M. Первая лента машины M ’ хранит последовательность конфигураций машины M и метку на текущее состояние последней. Записи слева от метки предполагаются исследованными и их в дальнейшем игнорируют. Конфигурации справа рассматриваются в порядке очереди. Программа машины M хранится в конечном управлении M ’ . Обработка текущей конфигурации на первой ленте состоит в следующем:

Машина M ’ проверяет состояние и обозреваемый символ и, если состояние допускающее, также переходит в допускающее состояние.

Если состояние не допускающее и из данной конфигурации есть k переходов, то M ’ использует вторую ленту для создания k копий, которые записываются в конце очереди на ленте 1.

M ’ изменяет k конфигураций в соответствии с программой машины M.

M ’ перемещает отметку текущей конфигурации на следующую справа и цикл повторяется с шага 1.

Допустим, что m есть максимальное число выборов машины M в любой конфигурации. Тогда существует одно начальное состояние M, не более m конфигураций, достижимых за 1 шаг, не более m 2 конфигураций, достижимых за 2 шага и т.д. Таким образом, после n переходов машина M может достичь не более 1+ m +m 2 +…+m n £ n×m n конфигураций. Порядок, в котором машина M ’ исследует конфигурации, называется “поиском в ширину”, т.е. M ’ исследует все достижимые конфигурации машины M за 0 шагов, достижимые за 1 шаг и т.д.

Допускающая конфигурация машины M будет рассмотрена машиной M ’ в числе первых n×m n конфигураций. Таким образом, если машина M допускает, то машина M ’ также допускает, т.е. L(M) = L(M ’ ). “

Отметим, что работа построенной детерминированной машины M ’ может потребовать экспоненциально большего времени, чем время работы недетерминированной машины M, которую она моделирует. Разница между полиномиальным и экспоненциальным временем - это граница того, что можно решить с помощью компьютера, а что практически нерешаемо.

Теорема. Если M недетерминированная машина Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то найдется детерминированная машина Тьюринга M ’ с емкостной сложностью O(S 2 (n)) и L(M ’ ) = L(M).

Доказательство. Пусть M недетерминированная машина Тьюринга (возможно k-ленточная) с емкостной сложностью S(n). Тогда число различных конфигураций, в которые машина M может попасть из начальной с входом длины n, не превосходит некоторого числа c S (n) , точнее ½Q½(½X½+1) k S(n) (S(n)) k , где k – число лент. Тогда число переходов от конфигурации C 1 к конфигурации C 2 (С 1 ├ С 2) на любой из лент не превосходит c S (n) . Можно выяснить, существует ли переход С 1 ├ С 2 за 2i шагов, проверив для всех C 3 существует ли переход С 1 ├ С 3 и С 3 ├ С 2 за i шагов. После каждого обращения к процедуре число i уменьшается вдвое.

Идея моделирования машиной M ’ работы машины M приведена в доказательстве предыдущей теоремы. Стратегия работы машины M ’ -

установить приведет ли начальная конфигурация C 0 к какой-нибудь допускающей конфигурации C f . Чтобы найти верхнюю емкостную границу для машины M ’ , расположим конфигурации (длины O(S(n))) на стеках того же размера. В каждый момент времени число фрагментов стека не превосходит 1+ log éc S (n) ù , т.е. O(S(n)). Для всего стека машины M потребуется O(S 2 (n)) ячеек. “

Теорема. Если язык L допускается k-ленточной недетерминированной машиной Тьюринга M = (X, Q, q 0 , F, I) с временной сложностью T(n), то он допускается одноленточной недетерминированной машиной с временной сложностью O(T 2 (n)).

Доказательство. Пусть M 1 одноленточная недетерминированная машина Тьюринга, имеющая на ленте 2k дорожек, т.е. ленточные символы машины M 1 представляются 2k-членными кортежами, в которых на нечетных местах стоят символы алфавита X, а на четных – либо символ L, либо маркер #. Дорожки с нечетными номерами соответствуют k лентам машины M, а каждая дорожка с четным номером 2j содержит символ L во всех ячейках, кроме одной, где стоит маркер #, отмечающий положение головки машины M на ленте j, которой соответствует дорожка 2j-1. Машина M 1 моделирует один шаг работы машины M следующим образом. Допустим, что вначале головка машины M 1 обозревает клетку, содержащую самую левую головку машины M.

Головка машины M 1 движется вправо, пока не минует все k маркеров положений головок на дорожках с четными номерами. При этом M 1 запоминает в своем состоянии символы, обозреваемые каждой из головок машины M. Теперь M 1 делает недетерминированное развлетвление, исходя из состояния машины M, которое машина M 1 запомнила в своем состоянии, и обозреваемых машиной M на лентах символов, которые машина M 1 также нашла.

Выбрав для моделирования шаг машины M, машина M 1 изменяет в соответствии с ним состояние машины M, которое она помнит в своем состоянии. Затем M 1 сдвигает свою головку влево и проходит все маркеры, изменяя ленточный символ на дорожке над маркером и сдвигая маркер не более чем на одну клетку (L,R,S).

Машина M 1 промоделировала один шаг работы машмны M. Действия машины M 1 на этом шаге детерминированы. Ее головка находится правее левого маркера не более чем на две ячейки. Начиная с этого маркера цикл можно повторить.

Если машина M допускает цепочку w длины n, то совершает при этом не более T(n) переходов. Очевидно, что в последовательности из T(n) шагов головки мащины M могут разойтись не более чем на T(n) клеток, и, значит, M 1 может смоделировать один шаг этой последовательности не более чем за O(T(n)) своих шагов. Таким образом, M 1 допускает цепочку w, выполняя не более чем O(T 2 (n)) переходов. Отсюда следует, что M 1 допускает язык L и имеет временную сложность O(T 2 (n)). “

Следствие 1. Если язык допускается k-ленточной детерминированной машиной Тьюринга с временной сложностью T(n), то он допускается одноленточной детерминированной машиной Тьюринга с временной сложностью O(T 2 (n)). “

Следствие 2 . Если язык L допускается k-ленточной недетерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то он допускается одноленточной недетерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n). “

Следствие 3. Если язык допускается k-ленточной детерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n), то он допускается одноленточной детерминированной машиной Тьюринга с емкостной сложностью S(n). “

Имитация машины Тьюринга на компьютере и компьютера на машине Тьюринга.

К основным компонентам вычислительной машины относятся оперативная память и процессор. Программы и данные, представленные в двоичном алфавите, помещаются в память. При выполнении программы отдельные ее команды и нужные данные извлекаются из памяти в процессор и наоборот – значения, получаемые при выполнении команд, записываются в ячейки памяти.

Память состоит из некоторого числа запоминающих ячеек (регистров), предназначенных для промежуточного хранения значений операндов и для хранения другой информации, необходимой для выполнения команд, регистров для управления запоминающими ячейками, адресов ячеек и полей самих ячеек.

Процессор состоит из устройства управления (УУ) и арифметического устройство (АУ). Устройство управления содержит счетчик тактов, команд и т.д., вырабатывает управляющие сигналы для выполнения команд, передачи данных и т.д. Процессор содержит регистры операндов, линии связи и линии задержки для непосредственной реализации процессов вычислений.

Наряду с процессором и памятью компьютеру необходимы еще устройства ввода/вывода.

Имитация машины Тьюринга на компьютере. Пусть M - машина Тьюринга, одним из составляющих которой является ее конечное управление. Поскольку M имеет конечное число состояний и конечное число правил перехода, программа компьютера может закодировать состояния в виде цепочек символов, как и символы ее внешнего алфавита, и использовать таблицу переходов машины M для преобразования цепочек. Бесконечную ленту машины Тьюринга можно имитировать сменными дисками, размещаемыми в двух магазинах, соответственно для данных, расположенных слева и справа от считывающей головки на ленте. Чем дальше в магазине расположены данные, тем дальше они от головки на ленте.

Для имитации компьютера на машине Тьюринга существенны две вещи:

Существуют ли инструкции, выполняемые компьютером, и недоступные для машины Тьюринга;

Работает ли компьютер быстрее машины Тьюринга, т.е. более, чем полиномиальная зависимость разделяет время работы компьютера и машины Тьюринга при решении какой-то проблемы.

Неформальная модель реального компьютера :

Память, состоящая из последовательности слов и их адресов. В качестве адресов будут использоваться натуральные числа 0,1, …;

Программа компьютера, записанная в слова памяти, каждое из которых представляет простую инструкцию. Допускается “непрямая адресация” по указателям;

Каждая инструкция использует конечное число слов и изменяет значение не более одного слова;

Имеются слова памяти с быстрым доступом (регистры), но скорость доступа к различным словам влияет лишь на константный сомножитель, что не искажает полиномиальную зависимость.

Возможная конструкция машины Тьюринга для имитации компьютера

представлена на рис.

Рис стр 369

Машина имеет несколько лент. Первая лента представляет всю память компьютера – адреса и значения (в двоичной системе). Адреса заканчиваются маркером *, значения – маркером #. Начало и конец записей 1-й ленты обозначаются маркером $. Вторая лента – “счетчик инструкций”, содержит одно двоичное целое, представляющее одну из позиций считываюшей головки на первой ленте, адрес инструкции, которая должна быть выполнена следующей. Третья лента содержит адрес и значение по нему после того, как этот адрес устанавливается на первой ленте. Для выполнения инструкции машина Тьюринга должна найти значение по одному или нескольким адресам памяти, где хранятся данные, участвующие в вычислении. Нужный адрес копируется на ленту 3 и сравнивается с адресами на ленте 1 до совпадения. Значение по этому адресу копируется на третью ленту и перемещается на нужное место, как правило, по одному из начальных адресов, представляющих регистры компьютера. Четвертая лента имитирует входной файл. Пятая лента - рабочая память, служит для выполнения вычислений. Допускающая инструкция машины Тьюринга соответствует выводу на печать в выходном файле.

Функционирование такой имитирующей машины:

1.Найдя на 1-й ленте адрес, совпадающий с номером инструкции на 2-й ленте, исследуем значение по нему и копируем на 3-ю ленту. Первые биты инструкции задают действие (копировать, вставить, ветвиться и т.д.), оставщиеся биты – адрес или адреса, используемые в этом действии.

2. Если в инструкции содержится значение по некоторому адресу, то этот адрес копируется на 3-ю ленту, а позиция инструкции на 2-ю дорожку 1-й ленты.

a) скопировать по другому адресу;

Второй адрес извлекается из инструкции, помещается на 3-ю ленту, находится на 1-й ленте и значение по нему копируется в зарезервированное для него пространство. Если для нового значения надо больше (меньше) памяти, чем для старого, пространство изменяется путем сдвига, а именно,

(1) на рабочую ленту копируется часть ленты справа от того места, куда надо поместить новое значение;

(2) новое значение записывается на 1-ю ленту;

(3) рабочая часть копируется обратно на 1-ю ленту справа от нового значения.

b) прибавить найденное значение по другому адресу;

Ищем второй адрес на первой ленте, выполняем сложение значения по этому адресу и записанному на 3-й ленте.

c) перейти к выполнению инструкции по адресу, записанному на 3-й ленте, для чего лента 3 копируется на ленту 2, и цикл инструкций начинается снова.

4. Выполнив инструкцию (не являющуюся переходом), прибавляем 1 к счетчику на ленте 2 и вновь начинаем цикл инструкции.

Теперь надо убедиться, что если проблему можно решить за полиномиальное время на компьютере, то ее можно решить за полиномиальное время на машине Тьюринга и наоборот. Как следует из доказанных выше теорем, достаточно использовать многоленточную машину Тьюринга, так как различие во времени работы одноленточной и многоленточной машин Тьюринга полиномиально.

Время работы машины Тьюринга, имитирующей компьютер

Введем следующие ограничения на модель компьютера:

Ни одна компьютерная инструкция не должна порождать слово, длиннее, чем на 1 бит, своих операндов.

Инструкция, применяемая к словам длины m должна выполняться не более, чем за 0(m 2) шагов на многоленточной машине Тьюринга.

Назовем такие операции допустимыми.

Этим условиям удовлетворяют сложение, сдвиг на 1 бит, сравнение значений, которые выполняются на многоленточной машине Тьюринга за 0(m) шагов. А также умножение m-битовых целых, если его имитировать с помощью m последовательных сложений со сдвигами на 1 бит влево. Время выполнения операции умножения будет пропорционально квадрату длины сомножителей. .

Теорема. Для компьютера, обладающего указанными свойствами, описанная выше модель машины Тьюринга может имитировать m шагов компьютера не более, чем за 0(m 3)шагов.

Доказательство. Вначале первая лента содержит только программу компьютера, длина которой не зависит от n (числа шагов выполнения инструкций). Наибольшее из компьютерных слов или адресов, встречающихся в программе, обозначим через c, а через d - число слов программы.

После выполнения n шагов компьютер не может породить слово, длиннее c+n, и не может создать или использовать адрес, занимающий больше c+n битов. Каждая инструкция порождает не более одного нового адреса, получающего значение, поэтому после выполнения n инструкций имеем d+n адресов. Каждый адрес-значение занимает не более 2(c+n) +2 разрядов, а после выполнения n инструкций не больше 2(d+n)(c+n+1), или 0(n 2)

Для просмотра адресов одной инструкции компьютера требуется времени 0(n 2), слова имеют длину 0(n), а инструкции выполняются машиной Тьюринга за время 0(n 2), сдвиг для создания пространства для нового слова включает копирование данных объемом 0(n 2) с ленты 1 на рабочую ленту и обратно. Таким образом, машина Тьюринга имитирует один шаг компьютера за 0(n 2) своих шагов, а n шагов можно проимитировать за 0(n 3) шагов машины Тьюринга. “

Теорема. Выполнение n шагов работы компьютера можно проимитировать на одноленточной машине Тьюринга не более чем за 0(n 6) шагов.

Таким образом, машина Тьюринга может имитировать память и управление реального компьютера, используя только одну ленту для записи всех элементов памяти и их содержимого – регистров, основной памяти, дисков и других запомиинающих устройств. Отсюда можно быть уверенным, что все, не выполнимое машиной Тьюринга, не может быть вычислено и компьютером. “